* El lenguaje de la Naturaleza

Las Matemáticas están presentes en otros lugares que pueden parecer inusitados. Por ejemplo en la Música: la nota La en la escala de Do Mayor se define, según la norma ISO 16:1975, como 440 ciclos o vibraciones por segundo, en términos científicos 440 Hertz. Para músicos de linaje artístico europeo (la llamada música occidental), esta nota es la utilizada para afinar todas las demás. Así, en música de teclado o guitarra cada nota arriba o abajo de esta La sigue una escala logarítmica en la cual la diferencia entre una nota musical determinada y la siguiente (no hay notas intermedias entre teclas adyacentes) es un múltiplo, en Hz, de la raíz doceava de 2, ó 2 a la potencia de 1/12, aproximadamente el número 1,059 463 094 36... . Esto se llama "afinación de temperamento igual". Cuando recorremos "do-re-mi-fa-sol-la-si" en un teclado o guitarra, y luego hasta el siguiente "do", hemos recorrido una octava, palabra derivada de "un grupo de ocho" (siete, más una, notas musicales). Pero en realidad hay 12 intervalos de frecuencias en una octava: los pasos entre "do-re", "re-mi", "fa-sol", "sol-la" y "la-si" son el doble de largos que los pasos entre "mi-fa" y "si-do". Los pasos más largos se llaman tonos, y los pasos más pequeños se llaman semitonos. Dos semitonos hacen un tono. Así que la matemática subyacente de una octava es en realidad 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12. Cuando calculamos las frecuencias con la relación "2 a la potencia de 1/12", dada más arriba, vemos que después de recorrer estos 12 semitonos, esto es, 1 octava, hemos duplicado la frecuencia de la nota que estamos tocando. La explicación es que 2 a la potencia de 1/12 se convierte en 2 a la potencia de 12/12, esto es, 2 a la potencia de 1, ó simplemente 2. Así cada octava es la octava anterior multiplicada por 2. Hemos comenzado en "do" y hemos terminado en "do" nuevamente, pero una octava más alto, esto es, entre un "do" y el otro "do" la frecuencia se duplica. Y un fenómeno matemático similar puede ocurrir con la plétora de instrumentos musicales de una orquesta clásica o con un coro. Nuevamente, se usa la nota La en la escala de Do Mayor (440 Hz) para afinar los instrumentos musicales de la orquesta clásica o las voces de un coro, pero ahora "do-re-mi-fa-sol-la-si" y hasta el siguiente "do" siguen una serie simplificada de fracciones, en este caso "1", "9/8", "5/4", "4/3", "3/2", "5/3", "15/8" (digamos, haciendo variar el largo de una cuerda), y "2", respectivamente. Esto se llama "afinación armónica o justa", y era conocido por Pitágoras allá por el siglo VI B.C.E., quien correctamente lo consideró como una manifestación mantemática de la Naturaleza, un gran descubrimiento.

Más aún, cuando un hombre y una mujer cantan juntos, la altura de sus voces es generalmente más alta para la voz femenina, pero el duo puede afinar las frecuencias de sus voces para una relación de 2 a 1, ó 3 a 1, ó 4 a 1. Esa es la razón por la cual ellos pueden cantar el hogareño "Feliz Cumpleaños" en armonía: los armónicos son múltiplos enteros completos de una frecuencia, así que sus voces encajan entre ellas fácilmente, como si estuvieran cantando la misma nota aunque en realidad una persona está cantando a una frecuencia mucho más alta (o más baja) que la otra persona. Así pues, aunque las distancias entre notas en las escalas de música clásica son ligeramente diferentes entre sí (para los puristas, más perfectas) que las distancias entre notas en las escalas de teclado y guitarra, una vez más cada escala ("do-re-mi-fa-sol-la-si-do") también comienza a 1 vez la frecuencia y termina al doble de la frecuencia, y el siguiente "do-re-mi-fa-sol-la-si-do" al triple de la frecuencia, y el siguiente "do-re-mi-fa-sol-la-si-do" al cuádruple de la frecuencia. Más que perfecto para los armónicos del "Aleluya" de Händel. Asombroso.

Aunque también existen otros pares de notas que no resultan desagradables cuando suenan juntas, como las llamadas quintas justas, y en menos medida, las terceras mayores y menores (y hasta muchas veces, para efectos dramáticos, se busca lo contrario: pares de notas que suenen a propósito de manera desagradable o estresante), sólo la octava es la que genera armonía perfecta, por su matemática subyacente de multiplicarse por números enteros.

La explicación física es que cuando se usan múltiplos enteros cada onda viaja a una distancia constante de la onda que la precede y de la onda que la sigue, ya sea superpuesta, ya sea en medio de las otras, o en cualquier otra posición, pero sin salirse de sincronía. Usted puede ayudar a una niña o niño a hamacarse en un columpio empujándola o empujándolo cada vez que su espalda venga hacia usted, o cada 2 veces, o cada 3 veces, o inclusive cada 4 veces, pero no le podrá ayudar si sus esfuerzos se salen de sincronía. Usted puede empujar inclusive cuando la niña o niño todavía está subiendo o cuando ya se está alejando de usted: es cierto, así el columpio no va a volar tan alto, pero siempre y cuando usted esté prestando atención a la frecuencia de oscilación de la niña o niño, obtendrá relativamente éxito en mantenerle hamacándose. Usted y la niña o niño se convierten en una única entidad en movimiento, trabajando en "armonía", y la niña o niño sonreirá. Si usted presta atención a las frecuencias de sus compañeros de interpretación musical, se complementarán los unos a los otros y la orquesta clásica o el coro se convierten en una única entidad generadora de ondas, manteniendo todo en movimiento armónico, consonante y no disonante. Al prestar atención a esta matemática subyacente, lo que podría ser potencialmente un desordenado, incongruente y feo "ruido" se convierte en hermoso "sonido", y el público sonreirá.

En las primeras universidades, que surgieron en la Edad Media, el currículum comenzaba con el "Trivium": Gramática, Lógica y Retórica, antes de pasar a los estudios más avanzados, el "Quadrivium": Aritmética, Geometría, Astronomía y Música. Nótese que estas dos fases corresponden a Lengua y a Matemáticas, respectivamente, las dos principales mediciones que se hacen a los candidatos a entrar a las más prestigiosas universidades actualmente. Desde luego que los currículums universitarios ahora son mucho más amplios, aunque a la vez más especializados. No es de extrañar entonces que Wernher von Braun, el ingeniero creador de los cohetes que llevaron a los seres humanos a la Luna, los Saturn V (5 porque tenía cinco motores Rocketdyne F-1), aconsejaba a sus jóvenes seguidores estudiar a profundidad Ciencias y Matemáticas, pero al mismo tiempo les recordaba que en su juventud él había también tocado el piano y el violoncelo, y que en su casa tenía una pintura de Rubens. Olvidar a las Artes y a las Humanidades da como resultado un raquítico desarrollo de la personalidad, explicaba.

Como es sabido, los romanos escribían los números con los mismos signos que utilizaban para la literatura: I, V, X, L, C, D, M. Dicho sea de paso, 4 se puede escribir IIII, y no IV, y las barras horizontales encima pueden indicar multiplicación por mil.

EL SISTEMA DECIMAL

Los signos que utilizamos para nuestro uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho y nueve derivan de la notación árabe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Es mucho más facil resolver 3456 * 789 que tres mil cuatrocientos cincuenta y seis multiplicado por setecientos ochenta y nueve. El cero arábigo aparentemente deriva de la India, civilización con quienes el Medio Oriente tenía comunicación náutica. Probablemente el "0" en realidad comenzó como un punto (.), colocado discretamente por los calculistas cuando no había otro signo que colocar, es decir, había un vacío o valor nulo en la operación.

Los mayas también tenían su cero, pero parece que más rápidamente se dieron cuenta de su importancia pues lo dibujaban como una estilizada concha marina.

Antiguamente las multiplicaciones y divisiones más simples se daban por dos o por tres. Así tenemos que en el Sistema Inglés de Medidas los submúltiplos de una pulgada (in, ó ") son 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 de pulgada. La pulgada a su vez era el tamaño de tres granos de cereal; tres pulgadas son una palma, cuatro palmas son un pie y tres pies son una yarda. La milla deriva de los romanos: mil pasos dobles de una legión de soldados, ó 1609 m. La legua es lo que una persona puede caminar en una hora, o cerca de 5 km (pobremente estandarizada: la legua del Paraguay era en el siglo XVIII de 4180 m, según el cartógrafo y naturalista Félix de Azara, con la advertencia de su colega Francisco de Aguirre de que podía variar en alrededor de 3 %). La legua marítima era otra: 5 leguas del Paraguay eran 4 leguas marítimas.

La milla marítima es más moderna y mucho más matemática: se la diseñó con la idea de que cada barco pueda calcular su desplazamiento midiendo la diferencia de latitud que alcanzaba. Una milla marítima, marina o náutica equivale a un minuto (') de latitud. Como la Tierra no es una esfera perfecta, mediciones en el ecuador dan diferencias con relación a mediciones cerca de los polos. Se la estandarizó entonces a medio camino entre cero grados y noventa grados de latitud: a 45 grados de latitud. El valor estándar es pues 1852 m.

El nudo como medida de velocidad (tanto en barcos como en aviones) proviene de un arcaico velocímetro de la época de los barcos de Colón, o inclusive anterior: la corredera era un balde atado a una cuerda que era arrojado al mar, quedando éste "anclado" en el agua mientras el velero seguía su marcha. La cuerda tenía nudos a intervalos bien calculados, con lo que contando el número de nudos que corrían al desenrollarse la cuerda en un tiempo determinado, se podía estimar la velocidad, en "nudos" (1 nudo = 1 kt = 1 milla náutica por hora; ésta da 1,852 km/h según su valor moderno). Multiplicando la velocidad por el tiempo de viaje se tenía la estima de la distancia recorrida.

Para evitar confusiones peligrosas, la Organización Internacional de Aviación Civil (ICAO) sigue usando millas náuticas (NM) para las distancias, nudos (kt) para las velocidades y pies (ft) para las alturas de las aeronaves, debido a la enorme cantidad de aparatos de fabricación estadounidense. En el resto de las aplicaciones se recomienda el Sistema Internacional. Vale aclarar que el símbolo de metro, "m", es un símbolo y no una abreviatura, por tanto es equivocado escribir "m.", "mt.", "mts", o cualquier otra cosa. Lo mismo vale para km (kilómetros), kg (kilogramos), V (voltios), A (amperes), N (newtons, medida de fuerza), K (kelvins, medida de temperatura), etc.. Dicho sea de paso, se dice "kelvin" y no "grados kelvin". Grados "C" no es "grados Centígrados" y sí "grados Celsius", por su inventor. Sin embargo, ésta última unidad debe evitarse en notación científica en preferencia de los kelvins.

Los grados Fahrenheit son muy interesantes. Se los diseñó para medir temperatura ambiente: como la temperatura extremas en los países anglosajones varía entre el punto de congelación del mar y la temperatura del cuerpo humano, esos fueron los valores adoptados para calibrar la escala. Para seguir con la costumbre de dividir y multiplicar de la manera más sencilla posible, va de cero (0) a 96 grados, y no 100. La escala de un termómetro de Daniel Fahrenheit se podía dividir en 2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48 ó 96 partes iguales. Tiene lógica, así como las pulgadas (el tamaño de la falangeta, o último hueso, de los pulgares de un hombre adulto), los pies (los de un hombre adulto, según la tradición nada menos que el emperador francés Carlomagno), la yarda (la distancia que alcanza un brazo extendido a los lados del cuerpo, contando desde la nariz hasta la punta del pulgar de un hombre adulto, según la tradición nada menos que el rey Henry I de Inglaterra). Eran fáciles de usar sin una cinta métrica y fácil de enseñar a los niños. Un escritor aeronáutico inglés cuenta cómo durante la Guerra Fría tuvo la rara oportunidad de estar junto a un avión militar soviético y rápidamente pudo estimar su capacidad bélica. Por su forma se puede inferir su velocidad máxima. Caminando alrededor de él pudo medir su tamaño total; usando sus manos para medir sus neumáticos calculó su peso máximo, y con estos datos estimó su capacidad de combustible y su alcance máximo. Restando del combustible pudo estimar su capacidad de armamentos que podía transportar a diferentes distancias y a diferentes velocidades. Todo en algunos minutos sin que los oficiales soviéticos se hayan dado cuenta de los datos que este inglés, con su "obsoleto" sistema de medidas, estaba obteniendo.

Pero a pesar de esto, el sistema decimal es nítidamente superior para realizar cálculos complejos, pues sólo hay que agregar o quitar ceros, o hacer correr una coma. Una nota sobre esto: el Sistema Internacional de Unidades ("Système international d'unités", cuyo símbolo es SI en cualquier idioma, y no S.I., S.I.U., I.S., Sistema Métrico Decimal, MKS ó lo que sea) reconoce a determinado símbolo para separación decimal pero no para otra cosa: pi es aproximadamente igual a 3,141 592 653 59... . Nótese el espacio cada tres dígitos. Un millón se escribe 1 000 000 y no 1.000.000. Mil se escribe 1000 pero no 1.000. La idea es evitar problemas al traducir de un idioma a otro, donde un punto puede ser usado como coma: 6,346 ó 6.346 pueden ser el mismo valor ó mil veces diferente. La excepción es cuando se habla de dinero: obviamente no deben dejarse espacios vacíos al escribir un valor monetario en un cheque.

Así, el sistema decimal es tan bueno que hasta sin darnos cuenta lo usamos en la billetera. Los habitantes del Reino Unido se dieron bien cuenta de esto en 1971, cuando las libras esterlinas dejaron de ser 20 chelines y los chelines dejaron de ser 12 peniques. Ahora una libra esterlina sigue teniendo peniques pero son 100, a la par con el resto del mundo. Y de paso, la pulgada dejó de ser tres granos de cereal y se la definió como siendo exactamente 25,4 mm.

El SI ganó gran fuerza luego de la Revolución Francesa, a tal punto que se propusieron circunferencias de cien grados o hasta relojes de 10 horas por día, con cien minutos y cien segundos. Hoy sólo sobrevive la pendiente en porcentaje (una pendiente de 45 grados es una pendiente de 100 %, pues se sube cien metros verticales andando cien metros horizontales), mientras que los grados se miden en radianos (el radio superpuesto a la circunferencia, con lo que un semicírculo tiene 3,14... radianos y un círculo entero tiene una circunferencia de 6,28... radianos). Aunque no lo crea, los radianos, milirradianos y microrradianos son sumamente útiles al hacer cálculos, mucho más que hablar de 57 grados, 17 minutos y 45 segundos y vaya usted a buscar los múltiplos y submúltiplos.

Los segundos (s) son la marcación estándar de tiempo, no importan cuántos millones sean. Así funcionan las computadoras de las naves espaciales. Las horas y los minutos no importan: para eso están las potencias de 10: 10 elevado a la 3, 10 elevado a la 6, 10 elevado a la 9, etc.. O bien kilo (k), mega (M), giga (G), etc.

Esta manera de escribir los múltiplos son muy útiles al hablar de billones. Para los estadounidenses 1 000 000 000 es un billón, mientras que para nosotros son sólo mil millones. Un billón sería un millón de millones, ó 1 000 000 000 000. Aunque la etimología nos dice que ellos no están tan equivocados: los italianos empezaron a usar millón para decir "mil grandote", ó mil multiplicado por mil, por lo tanto billón sería "mil dos veces grandote", ó mil multiplicado por mil multiplicado por mil, ó sea, 9 ceros, y no 12. A eso los estadounidenses se aferran.

Volviendo a los franceses, en SI un metro se mide midiendo la velocidad de la luz. Por convención, se dice que la luz recorre en el vacío exactamente 299 792 458 m en 1 s. Lo que hay que medir es por tanto el segundo, y para eso se hacen relojes atómicos cada vez más precisos. Una vez obtenido el dato, se hace la división y se obtiene el valor del metro. No más "la barra de platino e iridio guardada en París", etc.. Puede parecer innecesariamente complicado, pero es mejor que "la longitud de la espada de Napoleón cuando se bajó del caballo después de la batalla de Waterloo" o algo así. Lo que todavía no se solucionó es el kg patrón, "guardado en las oficinas del Bureau International des Pois et Mesures, etc.". Todavía hay que ir a París para calibrar las balanzas, pero ya llegará el día... .

LAS MATEMÁTICAS: EL IDIOMA UNIVERSAL

Lo que nos recuerda una cosa: no importa la notación, el sistema de medidas, si es decimal, binario, maya, guaraní, etc.: los números son universales. Tan universales que probablemente sea el idioma ideal para intentar comunicarnos con seres extraterrestres. Ya se ha aplicado esta idea (todavía sin éxito, según "no" nos hemos enterado): desde 1960, se ha buscado con radiotelescopios y detectores de señales laser. Uno de los pocos proyectos, SETI@home, usa cientos de miles de computadoras de voluntarios, por Internet, para analizar datos del radiotelescopio de Arecibo, el mayor del mundo. En 1972 y 1973 las sondas Pioneer 10 y 11 partieron con placas identificando, en lenguaje científico, su planeta y época. Las siguieron las Voyager 1 y 2 en 1977, con discos con imágenes y sonidos. En 1974 el radiotelescopio de Arecibo transmitió un potente mensaje a un aglomerado de estrellas distante 25 000 años-luz.

La universalidad de las Matemáticas también trae consigo cosas intrigantes. Por ejemplo, existen números que se consideran fundamentales en el Universo en que vivimos, por ejemplo la Constante de la Gravitación Universal en el sistema de Isaac Newton (6,673 84 * 10 elevado a la -11 m cúbico / kg * s al cuadrado), la Velocidad de la Luz en la Relatividad de Einstein (299 792 458 m/s), la Carga del Electrón buscada por Millikan (1,602 176 565 * 10 elevado a la -19 C), la Constante de Planck en la Mecánica Cuántica (6,626 069 57 * 10 elevado a la -34 J * s), etc.. Si estos números hubieran sido bastante diferentes los planetas se perderían en el espacio, las estrellas (como el Sol) brillarían por un tiempo demasiado breve, las moléculas no podrían formarse, los átomos no existirían, etc..

Podemos pensar en otros Universos en que estas constantes sean diferentes. Tal vez esos Universos nunca lleguen a evolucionar de manera a albergar vida inteligente. Aunque de un número infinito de universos, uno de ellos debería evolucionar hasta ser el nuestro. Existe un axioma que dice que una infinita cantidad de monos tecleando una infinita cantidad de máquinas de escribir durante una infinita cantidad de tiempo escribirían las obras completas de Shakespeare. El azar se vuelve certeza cuando hablamos de infinitas posibilidades.

Sin embargo, es inútil buscar otros universos. Si logramos una comunicación con uno de ellos, quiere decir simplemente que es una continuación del nuestro. Y si realmente es un universo paralelo, no tendría comunicación con el nuestro y por tanto nunca nos enteraríamos de su existencia. Así que para fines prácticos, el Universo es todo lo que hay, todo lo que hubo y todo lo que habrá, y por lo tanto es uno sólo: el que habitamos.

Preguntarse por qué el Universo tiene esas Constantes, por qué funciona como funciona, por qué permite la Vida, por qué estamos aquí, es lo mismo que la Reina de Inglaterra se pregunte por qué ella es la Reina de Inglaterra y no otra persona. "Alguien" tiene que ser la Reina de Inglaterra, y si no es ella, otra persona se estaría preguntando eso. Y si no hay Reina de Inglaterra, "nadie" estaría preguntándose eso. Reflexionamos acerca del Universo simplemente porque estamos aquí para hacerlo. Si no estuviéramos aquí, no estaríamos reflexionando, para comenzar. Por tanto, es inútil preguntarse por qué estamos aquí; sólo podemos agradecer que estamos aquí. Si uno no está vivo, no tiene la oportunidad de pasarla bien.

Ya Galileo Galilei descubrió hace cuatro siglos que para entender la Naturaleza tenemos que entender el lenguaje en que ella nos habla. La Naturaleza tiene un lenguaje, y ese lenguaje es el lenguaje de las Matemáticas. El libro más importante de la Historia lo publicó Isaac Newton, en 1687 para su primera edición: "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". En él se demostró por primera vez que la Naturaleza llega hasta los Cielos, y que, hasta donde sabemos, todo lo que ocurre allá ocurre aquí, y que todo lo que ocurre aquí ocurre allá. La Tierra no es una cosa que está aquí y el Universo está allá afuera, sino que la Tierra, y todo lo que ella contiene, inclusive nosotros mismos, somos parte del Universo. Somos la parte pensante del Universo. Eso es lo que han logrado nosotros, los átomos de hidrógeno producidos en el Big Bang, luego de 13 700 millones de años de Evolución.

Como decía Richard Feynman, es una lástima que muchas personas tienen problemas para entender las Matemáticas. No es un lenguaje que lo inventamos nosotros, sino que es el lenguaje que nos viene de afuera, por eso tal vez sea tan difícil de aprenderlo. Pero no podemos apreciar toda la belleza del Universo si es que no lo entendemos en su lenguaje. Uno puede intentar explicar oralmente a una persona ciega la belleza de un paisaje, pero si ella no la ve por sí misma, infelizmente no tendrá la experiencia de una persona que tiene la capacidad de la vista. Ésta posee una posibilidad mucho mayor para poder maravillarse. Así que, aunque a la mayoría de los amables lectores les parezca raro, hablar del mundo que nos rodea sin Matemáticas es sólo dar una mirada a través de una ventana sin salir nunca por la puerta para realmente disfrutarlo.

A. L.

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Fotografía: Cigarra periódica de 17 años "Magicicada sp.", camada XIII, 2007. Fotografiada en Lisle, Illinois. Mostrada con un árbol Cafetero de Kentucky, "Gymnocladus dioicus". Crédito de la fotografía: Bruce Marlin (licencia original, de la fotografía únicamente, obtenida en: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.es). © Bruce Marlin, http://www.cirrusimage.com, vía Wikimedia Commons.